みなさま、問題が解決しました。
結論から言うと、"User Agent Switcher"というツールでオッケー。

おそらくサーバ側がクライアント情報（IPアドレスなど）を一定時間キャッシュして
いるみたいで、今朝、問題の某銀行サイトに再度アクセスしてみたら、あっさりと接
続できました。
うまくだませているみたい。

しかし、サイト側も、どうして、こんな下らないことをするのかね。
そんな労力とコストは他に使え、と。