今はmint使ってます。
PCを使い終わて就寝時に自動更新と自動バックアップー＞スリープする
こんな感じにしたいです。

例えば、後者はどんなディストリでも使える.shが欲しい。
あるいはGUIでMacのTimeMachineみたいに楽できると嬉しい。

今はどちらも時々手動。どうしたらいいですか？

Ubuntu 16.04: 自動アップデート / アップグレードの設定をする - Narrow Escape
ubuntuならあったので素直にubuntu系統に乗り換えたほうが良いですか？