みなさん、アドバイスありがとうございました。
結論から言いますと、動画の再生に成功しました。

>>151 のアドバイスに従い、Firefox ESR を使いました。
すると、pipelight により Silverlight プラグインを入れることができました。

また、>>147 のアドバイスに従い、今ある Firefox とは別のディレクトリに入れました。
ただ、それでもアドオンや設定などは共有されてしまうみたいです。
(ESR使用中にうっかり設定を掻き乱さないようにしないと)

あと、User Agent Switcher 系のアドオンを入れ、ユーザーエージェント文字列をこのようにしました。
"Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; rv:23.0) Gecko/20131011 Firefox/23.0"
(この切り替え設定だけは、元の Firefox 56 を使用する際は忘れず戻さないといけません)

このようにしたところ、きれいに再生されました。
カクつくこともとなく、途切れることもありません。


>>148
せっかくのアドバイスですが、場所を取るので今回は無理です。
ただ、そんなに安いのかと調べてみたところ、さすがに1000円は見つかりませんでしたが、
中古で6000円~8000円程度ならネットでも簡単に見つかりますね。
今後のために、こういう方法も覚えておきます。

>>149
Firefoxでできなかったら、その方法も試してみるつもりでしたが、その必要はなかったようです。