手元のtmuxで、copy-modeでのコピーをxselなりclipなりに渡すように設定すればいいんじゃないの？
copy-modeはlocalのtmuxですべて処理
remoteで設定せずに使いたいという話だと、remoteでもtmux使いたいのかわからないけど、
remoteでもtmuxをネストして使いたいということであれば、
https://www.freecodecamp.org/news/tmux-in-practice-local-and-nested-remote-tmux-sessions-4f7ba5db8795/
の途中からを参考にキーバインディング設定すればやりたいことはできそう