Debian＋GNOME＋Fcitx5-Mozc系？は駄目なようです
いろいろ見てみましたが結局デスクトップ環境切り替えでうまくいきました
複数の端末インストールして比べたけどデスクトップ環境で入力状態の共有が決まるようです
Cinamon、Cinamon(Software Rendering)　・・・○
GNOMEクラシック on xorg、GNOME on Xorg・・・○
Default Xsession　　　　　　　　　　　・・・○　　
MATE　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・○
Xfceセッション　　　　　　　　　　　　・・・○
GNOME、GNOME　 クラシック 　　　　　　・・・✗

ただインストール直後？一瞬だけならGNOMEでも動作したのが謎でした
入力状態の共有がオフにならないデスクトップ環境はどこが原因なのでしょうか？
デスクトップ環境の設定を書き換えるファイル存在しますか？